Introduction aux équations différentielles

Définition

On appelle équation différentielle une équation dans laquelle l'inconnue est une fonction et qui lie cette fonction et une ou plusieurs de ses dérivées successives.

Vocabulaire  

L'ordre d'une équation différentielle donnée correspond à l'ordre maximal de dérivation présent dans cette équation différentielle.

Remarque

L'inconnue d'une équation différentielle est souvent notée \(y\) . Elle représente une fonction (et non plus un nombre).

Exemples  

1. \(y'+2y=0\) est une équation du premier ordre à coefficients constants.

2.  \(y'+2y=4\) est une équation du premier ordre à coefficients constants.

3. \(y'+y^2=0\) est une équation du premier ordre à coefficients constants.

4. \(ty'(t)+y(t)=0\) est une équation du premier ordre à coefficients non constants.

5. \(y''+y=0\) est une équation du second ordre à coefficients constants.

Définition

Soit \(n\) un entier naturel non nul. Résoudre une équation différentielle d'ordre \(n\) sur un intervalle \(I\) , c'est trouver toutes les fonctions définies sur \(I\)  et dérivables \(n\) fois, vérifiant cette équation.
On dit qu'une telle fonction est solution sur \(I\) ​​ de l'équation différentielle.